La méthode de mesure par triangulation

A – Principes

Les distances sont mesurées par triangulation, c’est à dire en construisant sur le terrain des triangles solidaires les uns des des autres par un côté et en déterminant leurs dimensions :

– au départ, on mesure d’abord la base d’un triangle (AC), de quelques kilomètres, à l’aide de règles. Ce sera la seule mesure de longueur sur le terrain. Suivront ensuite uniquement des mesures d’angle.

– Aux extrémités de ce segment, en A et en C, on vise le sommet du triangle en B – qui peut être par exemple le clocher d’une église ou tout autre élément surplombant le paysage et visible à une longue distance – et on détermine les deux angles α et β à l’aide d’un appareil de visée, le cercle répétiteur.

À partir de ces données, on peut calculer les longueurs des deux côtés du triangle, puis enfin l’élément de méridien, AA1

On recommence ensuite la procédure avec le triangle suivant BCD, en mesurant les angles δ et θ et ainsi de suite.

Mais dans la réalité, les choses sont nettement plus compliquées et il faut procéder à des corrections mathématiques variées, plus ou moins complexes.

B – L’appareillage de mesure

L’appareil de mesure utilisé par Delambre et Méchain a été conçu par Jean Charles de Borda (d’où son nom, « cercle de Borda ») et construit par un artisan réputé, Étienne Lenoir ; c’est un appareil portable d’environ 1 mètre de hauteur muni de deux lunettes de visée, le cercle gradué support des lunettes ayant un diamètre d’environ 40 cm.

La lunette supérieure est pointée sur un objet ; simultanément, la lunette inférieure est pointée sur le deuxième objet et on peut ainsi lire directement l’angle formé par les deux objets depuis le point de visée. En pratique, l’opération de visée est répétée plusieurs fois, d’où le nom de « cercle répétiteur » donné à cet instrument : la lunette inférieure est pointée alors sur le premier objet ce qui a pour effet de faire tourner le cercle et donc la lunette supérieure qui en est solidaire, d’un même angle. La procédure est répétée plusieurs fois en intervertissant à chaque fois les visées. L’addition de nombreuses mesures accroît très sensiblement la précision.

C – Mesures et corrections

– Les signaux à viser doivent être bien visibles, faire contraste avec l’arrière-plan, de dimensions bien calculées, de façon à être réticulés facilement : trop étroits, ils seront difficilement visibles, trop larges, ils obligeront à en chercher le milieu, ce qui entraînera une approximation

– les mesures lues sur le cercle (en grades) sont converties en degrés / minutes / secondes

– la lunette inférieure n’est pas dans le même axe que la lunette supérieure (par construction), ce qui induit une erreur d’excentricité dont il faut tenir compte (pour des distances courantes la correction est de l’ordre de 0,5″ d’arc)

– il est rare de pouvoir procéder aux visées en étant au centre de la station (exemple : si le point à partir duquel doit s’effectuer la visée est un clocher, il ne sera pas possible en général de placer l’appareillage de mesure dans ce clocher → le cercle de mesure sera positionné à proximité, mais il faudra tenir compte de ce décalage, et ce, dans les 3 dimensions pour recalculer l’angle réel :

– corriger les effets de la réfraction de l’air

– En l’absence de toute correction, on aurait, en raison du relief, une succession de triangles situés dans des plans différents et au final la détermination de la longueur de la portion de méridien serait erronée :

Il est donc nécessaire de corriger les mesures brutes pour s’affranchir des différences d’altitude. Les corrections consistent à ramener la succession de triangles sur une surface sphérique qui épouse les formes du globe terrestre.

Cette série de corrections a pour effet de définir des triangles sphériques à partir desquels on peut calculer les angles du triangle formé par les cordes de ce triangle sphérique : la somme des angles doit être la plus proche possible de 180°⁽¹⁾ : lorsque ce n’est pas le cas, c’est le signe de mesures peu précises.

Exemple de formule utilisée pour corriger les valeurs brutes :

Au final, les résultats des observations corrigés par calcul sont présentés sous forme de tableaux :

(1) Contrairement au triangle plan, la somme des angles d’un triangle sphérique est toujours supérieure à 180°

Sur ce sujet, voir la page Wikipedia :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_r%C3%A9p%C3%A9titeur